E(ε；·차·) 어제 hana씨가 피타고라스잇치의 동영상을 싣고 있었으므로, 수학을 배운 일이 있는 사람이 반드시 본다, 가장 고전적으로 가장 유명한 수학의 정리에 대해.

”직각 삼각형의 사변의 제곱은, 나머지의 두 개의 옆의 제곱의 화에 동일하다”

세계에서 최초로 발견된 정리라고 하는 사람이 있는 만큼, 고전적입니다.

그런데, 이 정리의 발견이나 전파에는 제설 있습니다.

”고대의 이집트인은 이미 알고 있었다”

라든가

”최초로 증명을 완성시킨 것은 Pythagoras다”

라든가

”세계 각지에서 따로 따로 발견되어, 각각의 지역에서 이용되고 있었다”

등의 설로부터

”삼평방의 정리를 나타내는 오 파트가 있어다…”

E(ε；·차·)···　아무튼, 이와 같은 설은 신경쓰지 말고 일어납시다.

고대의 이집트가, 정리를 제대로 이해해, 그 증명을 알고 있었는지 모릅니다만, 옆의 비가3:4:5의 삼각형이 직각 삼각형이 되는 것은 알고 있던 것 같습니다.(고대의 이집트라고 말해도 꽤 시대가 폭이 있습니다만, 직각 삼각형의 이용은 꽤 초기부터 행해지고 있던 것 같습니다)

Pythagoras가 어떻게 이 정리를 완성시켰는지를 대해서, 재미있는 이야기가 있습니다.사실인지 어떤지 이제 와서는 검증도 불가능입니다만, Pythagoras가 칸도노에 갔을 때, 마루에 늘어놓을 수 있었다

이런 타일을 보고 생각해 떠올랐다고 합니다.

그럼 이 정리의 증명을 봅시다.가장 낡고 명쾌한 증명은, Euclid의 원론의 제１장의 마지막에 쓰여져 있습니다.내가 중학의 무렵은 교과서에 써 있었습니다만, 학생의 중학의 교과서에는 쓰여져 있지 않았습니다.유감.

위의 두 개의 정방형의 면적을, 삼각형을 이용하는 일로 아래의 정방형의 면적과 비교합니다.거기에 따라 위의 두 개의 면적의 우리 아래의 정방형의 면적에 동일한 일을 증명합니다.

다음은 지극히 심플한 그림으로 설명할 수 있는 증명 방법입니다.

삼각형 BHA와 삼각형 AHC의 상사를 이용합니다.매우 간단합니다.이 증명도 비교적 고전적.

그런데 , Euclid의 증명과 아래의 증명에서는 결정적인 차이가 있습니다.위의 증명에서는,”길이의 제곱=면적”이라고 생각하고 있는데 대해, 아래의 증명에서는 길이의 제곱을 단순한 수라고 하고 생각하고 있습니다.

이 차이는 크고, Euclid 이전으로는 항상 것의 크기를 면적이나 길이에 옮겨놓고 있었기 때문에, 면적끼리, 길이 같은 종류가 아니다고 비교하는 것이 불가능이었습니다.이것으로는 보다 대수적인 발상이 태어나지 않습니다.그 점, 아래의 증명은 완전하게 길이를 단순한 수라고 하고 생각하고 있습니다.

이와 같은 차이는, 시대의 차이 뿐만이 아니라, 지역의 차이에서도 발생하고 있습니다.중국에서는 왜일까 대수학이 발달합니다.원론과 큰 차이 없는 시대에 쓰여진 9장 산술에서는 철저하게 실용 계산을 중시한 내용이 되어 있습니다.내용을 비교하면, 그 나머지의 달라 아연하게로 할 정도입니다.”수학의 고전적 명저”라고 하는 점에서는 같은 카테고리에 들어갈 것입니다만···.

마지막에 위의 두 개의 사상을 양쪽 모두 계승한 증명을…

내접원을 사용합니다.내접원의 반경과 삼각형의 주장의 적이 삼각형의 면적에 상당하는 일을 이용합니다만, 겹겹이 계산이 필요하게 됩니다.

단지, 누가 최초로 생각한 증명인가, 수중에 있는 수학사의 책에서는 알아 선이었습니다.

참조

○ Cajori 초등 수학사

○ http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml (영어의 페이지입니다만 80 정도 증명이 실려 있는)