슐레징거-의 파동 방정식이 나왔다
나의 넘을 수 없었던 물리학의 지평선이다(′；ω；`) 욱…
일반적으로 고유치 문제를 풀어 얻을 수 있는 고유 벡터에 비제로의 계수를 걸쳐도 역시 고유 벡터이다. 이것을 반영하고, 선형 미분 방정식인 슈레이딘가 방정식을 풀어 얻을 수 있던 파동관수에 임의의 복소계수를 걸쳐도 슈레이딘가 방정식의 해가 된다.
다만 양자 역학으로 파동관수를 규격화하는 경우에는 크기가 1이 아닌 계수를 걸쳐 버리면 규격화 조건이 무너져 버리기 위해, 크기 1의 계수를 걸친다고 하는 자유도만이 남겨진다.크기 1의 복소수는<math xmlns=“http://www.w3.org/1998/Math/MathML”></math>θ를 실수로서<math xmlns=“http://www.w3.org/1998/Math/MathML”></math>eiθ의 형태에 한정되기 때문에, 이것은 파동관수의 위상을 바꾸고 있는 것과 다름 없다.
한편, 관측 가능한 물리량은 파동관수의 위상의 선택 방법에 의하지 않는 것이 알려져 있다.양자 역학은 파동관수의 위상을 일의에 정하는 수단을 제공하지 않지만, 그런데도 물리량을 예측하려면 곤란하지 않게 되어 있다(파동관수의 위상은 관측에 의해 결정할 수 있는 것은 아니라고 하는 것).특히, 결정에 LCOA 근사를 적용했을 경우에는 하미르트니안이 파수<math xmlns=“http://www.w3.org/1998/Math/MathML”></math>k를 포함한 형태가 되지만, 그러한 하미르트니안에 대한 고유치 문제를 풀어 얻을 수 있는 고유 함수로서 다른 파라미터<math xmlns=“http://www.w3.org/1998/Math/MathML”></math>k,<math xmlns=“http://www.w3.org/1998/Math/MathML”></math>n번째의 고유치<math xmlns=“http://www.w3.org/1998/Math/MathML”>()</math>εk(n)마다 저 좋은 대로 위상을 선택했다고 해도 어떤 문제 없다.
통상의 물리량의 기대치를 요구할 때에 결과가 위상에 의하지 않는 것은, 파동관수로 대응하는 연산자를 사이에 둘 때에 위상이 사라지기 때문에 있다.한편, 이하로 조사하고 싶은 이상 속도나 료코홀 저항율에 대해서는 대응하는 「연산자」가 없지만, 역시 위상의 취하는 방법에 의하지 않고 값이 정해진다.이러한 기대치는 게이지 불변량(위상의 취하는 방법에 의하지 않는 양)인 Berry 위상이나 Berry 곡율등이라고 하는 트포로지칼인 양(?)에 의해서 기술되기 때문에 있다.이 근처가 이 페이지로 배우고 싶은 곳(다라고 생각한다).
이러한 일을 수식에서 나타내기 위해서, 계의 하미르트니안이 어떠한 파라미터<math xmlns=“http://www.w3.org/1998/Math/MathML”></math>q(예를 들면 파수<math xmlns=“http://www.w3.org/1998/Math/MathML”></math>k, 예를 들면 벡터 포텐셜<math xmlns=“http://www.w3.org/1998/Math/MathML”></math>A)에 의존하고 있는 것으로서<math xmlns=“http://www.w3.org/1998/Math/MathML”>^()</math>H^(q)라고 써, 그 고유치와 고유 함수(파동관수의 위상을 어떠한 「인위적인 룰」에 따라서 파라미터에 의존하는 형태로 적당하게 1개정한 것)를 다음과 같이 쓰자.ベリー曲線を調べていたら(;´Д｀)
シュレディンガーの波動方程式が出てきた
私の越えられなかった物理学の地平線だ(´；ω；`)ｳｯ…
一般に固有値問題を解いて得られる固有ベクトルに非ゼロの係数をかけてもやはり固有ベクトルである。 これを反映して、線形微分方程式であるシュレーディンガー方程式を解いて得られた波動関数に任意の複素係数をかけてもシュレーディンガー方程式の解となる。
ただし量子力学で波動関数を規格化する場合には大きさが１でない係数をかけてしまうと規格化条件が崩れてしまうため、大きさ１の係数をかけるという自由度だけが残される。大きさ１の複素数は <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">�</math>θ を実数として <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">���</math>eiθ の形に限られるから、これは波動関数の位相を変えていることに他ならない。
一方、観測可能な物理量は波動関数の位相の選び方によらないことが知られている。量子力学は波動関数の位相を一意に定める手段を提供しないが、それでも物理量を予測するには困らないようにできているのだ（波動関数の位相は観測により決定できるものではないということ）。
特に、結晶に LCOA 近似を適用した場合にはハミルトニアンが波数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">�</math>k を含む形になるが、 そのようなハミルトニアンに対する固有値問題を解いて得られる固有関数として、 異なるパラメータ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">�</math>k、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">�</math>n 番目の固有値 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">��(�)</math>εk(n) ごとに好き放題に位相を選んだとしても何ら問題ない。
通常の物理量の期待値を求める際に結果が位相によらないのは、波動関数で対応する演算子を挟む際に位相が消えるためである。一方、以下で調べたい異常速度や量子ホール抵抗率に対しては対応する「演算子」がないが、やはり位相の取り方によらず値が決まる。これらの期待値はゲージ不変量（位相の取り方によらない量）である Berry 位相や Berry 曲率などといったトポロジカルな量（？）によって記述されるためである。このあたりがこのページで学びたいところ（なのだと思う）。
これらのことを数式で表すために、系のハミルトニアンが何らかのパラメータ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">�</math>q （例えば波数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">�</math>k, 例えばベクトルポテンシャル <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">�</math>A）に依存しているものとして <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">�^(�)</math>H^(q) と書き、その固有値と固有関数（波動関数の位相を何らかの「人為的なルール」に従ってパラメータに依存する形で適当に１つ定めたもの）を次のように書こう。
