E(ε；·차·) 안녕하세요.요전날 루돌프수에 대해”정다각형으로 근사 했지 날이 열리지 않는”과의 이야기를 했습니다.
왠지라고 말하면, 정n각형을 사용한 근사에서는 1/n^2위의 오차가 나와 버리기 때문입니다.
그 때문2^60이라고 하는 현격한 차이인 계산을 한 루돌프씨도 40 자리수 정도 밖에 정확하게 낼 수가 없었습니다.
그런데 , 그 후 같게 다각형을 사용했는데 극적으로 정도 좋게 계산할 수가 있게 됩니다.
일본에서도 다케베 가타히로 이후, 유럽에서는 베르누이 일족 이후의 일입니다.
정다각형으로 원주율을 요구하는 하나의 기본적인 방법을 해설합시다.
정다각형의 한 변의 길이(그림의 푸른 부분)를 요구해 거기에 따라 정다각형의 주의 길이를 요구합니다.
그 후 직경으로 나눗셈하면 원주율의 근사치를 요구할 수가 있습니다.
그런데, 이 수법입니다만, 근사의 정도가 나쁘다고 하는 결점이 있습니다.
왜일까라고 말하면, 그림의 푸른 부분의 길이와 붉은 부분의 길이의 차이의 분만큼 오차가 생기기 때문입니다.
중앙의 초록의 부분의 각도를θ로 했을 때, (radian로 측정합니다) 이 파랑과 빨강의 길이의 비는
청 : 적 = sinθ : θ
됩니다.
즉 빨강의 길이는 파랑의 길이와 sin의 역함수로부터 요구할 수가 있습니다.
거기서, sinθ의 역함수, arcsinθ를 생각하는 필요성이 출생했습니다.
그런데 실제의 수치계산을 할 때 , arcsin를 다항식에서 근사 하지 않으면 안됩니다.여기에, Tayler 전개가 필요하게 됩니다.
일본 재래의 주산가의 여러명은 이 arcsin의 Tayler 전개를 요구하고 있습니다.
아무튼, 이와 같은 일로부터”일본에서는 서양과는 별도로 미분 적분을 발견했다”와 호르홀 하면서 말씀하시는 분이 있습니다만….
과언그럼？
수학적인 내용도 만족하게 이해하지 않고 말하는 사람 보고 있으면, 당기지요.
E（ε；・茶・） こんにちは。先日ルドルフ数について¥"正多角形で近似したんじゃ埒が開かない¥"との話をしました。
なぜかと言うと、正n角形を使った近似では1/n^2位の誤差が出てしまうからです。
そのため2^60と言う桁違いな計算をしたルドルフさんも40桁くらいしか正確に出す事が出来ませんでした。
ところが、その後同じ様に多角形を使ったのに劇的に精度良く計算する事が出来るようになります。
日本でも建部賢弘以降、欧州ではベルヌーイ一族以降の事です。
![](¥"/UploadFile/exc_board_11/2009/03/12/tetujutu.PNG¥")
正多角形で円周率を求める一つの基本的な方法を解説しましょう。
正多角形の一辺の長さ（図の青い部分）を求め、それによって正多角形の周の長さを求めます。
その後直径で割り算すれば円周率の近似値を求める事ができます。
さて、この手法ですが、近似の精度が悪いと言う欠点があります。
何故かと言うと、図の青い部分の長さと赤い部分の長さの違いの分だけ誤差が生じるからです。
中央の緑の部分の角度をθとした時、（radianで測ります）この青と赤の長さの比は
青 : 赤 = sinθ : θ
となります。
つまり赤の長さは青の長さとsinの逆関数から求める事が出来るのです。
そこで、sinθの逆関数、arcsinθを考える必要性が産まれました。
ところが実際の数値計算をする際には、arcsinを多項式で近似しなければなりません。ここに、Tayler展開が必要になります。
和算家の何人かはこのarcsinのTayler展開を求めています。
まぁ、この様な事から¥"日本では西洋とは別に微分積分を発見した¥"とﾎﾙﾎﾙしながら仰る方が居るんですが…。
言い過ぎじゃねぇ？
数学的な内容も満足に理解せずに言う人見てると、引くよね。