E（ε；・茶・） 昔、フジテレビでドラゴンクエストがアニメ化されたときの主人公がアベルでしたね。終わり方がｸﾞﾀﾞｸﾞﾀﾞだったのを覚えています。
さて、以前
![](¥"/UploadFile/exc_board_11/2009/05/19/clock.jpg¥")
こんな画像を頂きました。４の所の解説が中途半端だったため、同好会でぼちぼち画像を作りながら解説文を書いていたのですが、本日完結したため、こちらにも書きます。
その１ 同値類
二つの整数 a,b に対し |a-b| が７の倍数であるとき
a≡b (mod 7)
と書きます。
そして、a≡b (mod 7) となるような bを全部集めてきた時、それを「aの同値類（つまりaの仲間）」と言います。（正確には７を法とした剰余類と言います）
その２ 商空間
さて、整数全体を上で定めた同値類で分類しましょう。まぁ、クラス分けみたいな物です。
すると、整数全体を７つのクラスに分けることができます。
○ ７で割り切れる数のクラス
○ ７で割って１余る数のクラス
・・・・
○ ７で割って６余る数のクラス
です。このクラス全体の空間を「商空間」と言います。
さて、このクラスに名前をつけなきゃいけません。このとき、各クラスから一人出てきて貰って「○○ちゃんのクラス」と呼べば非常にわかりやすい。
この、一人出てきた子の事を「代表¥元」と言います。
７で割り切れる数には 0 が含まれているので、「0ちゃんのクラス」と言う意味で[0]と書きます。
もちろん、0ちゃんのクラスには7ちゃんも居るわけですから
「０ちゃんのクラス」＝「７ちゃんのクラス」
ですね。ですから[0]=[7]です。
折角ですから、常識的な手法で７つのクラスの中から、代表¥者を選びましょう。
[0] , [1] , [2] , [3] , [4] , [5] , [6]
その３ 演算
整数には足算、掛算が定義されています。（引算は足算から作られます）
クラス分けした場合、クラス同士の足算や掛算はできるのでしょうか？
実はできるんです。
[a]+[b] = [a+b]
[a]×[b] = [a×b]
とします。（well-definednessとか証明するのは面倒なので、これが可能¥だと思ってください）
すると足算は
![](¥"/UploadFile/exc_board_11/2009/05/19/mod7-s(1).GIF¥")
この様になります。例えば黄色い所は
[4]+ [5] = [4+5] = [9] = [2]
ですね。
引算は足算の逆演算なので簡単に表¥を作れます。
![](¥"/UploadFile/exc_board_11/2009/05/19/mod7-d.GIF¥")
掛算は
![](¥"/UploadFile/exc_board_11/2009/05/19/mod7-p.GIF¥")
こんな感じです。足算と同じように緑の部分を考えて見ましょう。
[5]×[2] = [5×2] = [10] = [3]
ですね。
さて、割算。通常、整数の範囲内だけでは割算をする事はできませんが、掛算の[0]を含まない所を見てください。各列に必ず[1]が含まれていますよね。これは、[0]を除く全てのクラスに対し、逆数が存在する事を示しています。
つまり割算が可能¥。（逆数の掛算ですから）
で、必要も無いのに割算の表¥も作ってみました。
![](¥"/UploadFile/exc_board_11/2009/05/19/mod7-q.GIF¥")
その４ 仕上げ
再度掛算の表¥に戻りましょう。
![](¥"/UploadFile/exc_board_11/2009/05/19/mod7-p2.GIF¥")
[2]×[4] = [1]
ですね。つまり [2] の逆数は [4] である事がわかります。
時計を見てみましょう。2の肩に-1が乗っています。これは「2の-1乗」つまり「2の逆数」と言いたいのです。
ところが横に (mod 7) と書いてありますから、これは [2] の逆数、すなわち [4] を意味しているのです。
ようやく [4] に辿り着きましたね。
４ちゃんのクラスも１１ちゃんのクラスも同じ。だから[4] = [11]になって、11時と区別がつかないはずだって？
E（ε；・茶・） ・・・・
そんな細かい事は忘れてしまえ。
E(ε；·차·) 옛날, 후지텔레비에서 드래곤 퀘스트가 애니메이션화 되었을 때의 주인공이 아벨이었지요.끝나는 방법이 그다그다였던 것을 기억하고 있습니다.
그런데, 이전
이런 화상을 받았습니다.4의 곳의 해설이 어중간했던 모아 두어 동호회에서 서서히 화상을 만들면서 해설문장을 쓰고 있었습니다만, 오늘 완결했기 때문에, 이쪽에도 씁니다.
그 1동치류
두 개의 정수 a,b 에 대해 |a-b| 가 7의 배수일 때
a≡b (mod 7)
(이)라고 씁니다.
그리고, a≡b (mod 7)가 되는 b를 전부 모아 왔을 때, 그것을 「a의 동치류(즉 a의 동료)」라고 합니다.(정확하게는 7을 법으로 한 잉여류라고 말합니다)
그 2상공간
그런데, 정수 전체를 위에서 정한 동치류로 분류합시다.아무튼, 클래스 나누어 같은 것입니다.
그러자(면), 정수 전체를 7개의 클래스로 나눌 수 있습니다.
○ 7으로 나뉘어 떨어지는 수의 클래스
○ 7으로 나누어 1남는 수의 클래스
····
○ 7으로 나누어 6남는 수의 클래스
입니다.이 클래스 전체의 공간을 「상공간」이라고 합니다.
그런데, 이 클래스에 이름을 붙이지 않으면 안됩니다.이 때, 각 클래스로부터 한 명 나와 받아 「00의 클래스」라고 부르면 매우 알기 쉽다.
이, 한 명 나온 아이의 일을 「대표원」이라고 합니다.
7으로 나뉘어 떨어지는 수에는 0 이 포함되어 있으므로, 「0 의 클래스」라고 하는 의미로[0]으로 씁니다.
물론, 0 의 클래스에는 7 도 있는 것이기 때문에
「0 의 클래스」= 「7 의 클래스」
(이)군요.그러니까[0]=[7]입니다.
절각이기 때문에, 상식적인 수법으로 7개의 클래스중에서, 대표자를 선택합시다.
[0] , [1] , [2] , [3] , [4] , [5] , [6]
그 3 연산
정수에는 족산, 곱셈이 정의되고 있습니다.(감산은 족산으로부터 만들어집니다)
클래스 나누어 했을 경우, 클래스끼리의 족산이나 곱셈은 할 수 있는 것입니까?
실은 할 수 있습니다.
[a]+[b] = [a+b]
[a]×[b] = [a×b]
(으)로 합니다.(well-definedness라든지 증명하는 것은 귀찮아서, 이것이 가능이라고 생각해 주세요)
그러자(면) 족산은
.GIF)
이와 같게 됩니다.예를 들면 노란 곳은
[4]+ [5] = [4+5] = [9] = [2]
(이)군요.
감산은 족산의 역연산이므로 간단하게 겉(표)를 만들 수 있습니다.
곱셈은
이런 느낌입니다.족산과 같이 초록의 부분을 생각해 봅시다.
[5]×[2] = [5×2] = [10] = [3]
(이)군요.
그런데, 나눗셈.통상, 정수의 범위내만으로는 나눗셈을 하는 일은 할 수 없습니다만, 곱셈의[0]을 포함하지 않는 곳을 봐 주세요.각 렬에 반드시[1]이 포함되어 있는군요.이것은,[0]을 제외하는 모든 클래스에 대해, 역수가 존재하는 일을 나타내고 있습니다.
즉 나눗셈이 가능.(역수의 곱셈이기 때문에)
그리고, 필요도 없는데 나눗셈의 겉(표)도 만들어 보았습니다.
그 4 마무리
재차 곱셈의 겉(표)로 돌아옵시다.
[2]×[4] = [1]
(이)군요.즉 [2] 의 역수는 [4] 인 것이 압니다.
시계를 봅시다.2의 어깨에―1이 타고 있습니다.이것은 「2의―1승」즉 「2의 역수」라고 하고 싶습니다.
그런데 옆에 (mod 7) 써 있기 때문에, 이것은 [2] 의 역수, 즉 [4] 를 의미하고 있습니다.
간신히 [4] 에 겨우 도착했어요.
4 의 클래스도 11 의 클래스도 같다.그러니까[4] = [11]이 되고, 11시로 구별이 되지 않을 것이래?
E(ε；·차·)····
그렇게 세세한 일은 잊어 버려라.